Många studenter som studerar avancerad matematik i avancerade kurser har förmodligen undrat: var används differentiella ekvationer (DE) i praktiken? Som regel diskuteras inte denna fråga vid föreläsningar, och lärare fortsätter omedelbart till lösningen av kontrollteorin utan att förklara för eleverna användningen av differentiella ekvationer i verkligheten. Vi kommer att försöka fylla detta gap.
Vi börjar med att definiera en differentiell ekvation. Så är en differentiell ekvation en ekvation som relaterar värdet på en derivatfunktion till själva funktionen, värdena för en oberoende variabel och vissa siffror (parametrar).
Det vanligaste området där differentiella ekvationer används är den matematiska beskrivningen av naturfenomen. De används också för att lösa problem där det är omöjligt att skapa en direkt relation mellan vissa värden som beskriver en process. Sådana uppgifter uppstår inom biologi, fysik och ekonomi.
I biologi:
Den första väsentliga matematiska modellen som beskrev biologiska samhällen var Lotka-Volterra-modellen. Den beskriver en population av två interagerande arter. Den första av dem, kallad rovdjur, dör enligt lagen x '= –ax (a> 0) i frånvaro av det andra, och det andra, offer, i frånvaro av rovdjur multipliceras obegränsat i enlighet med Malthus-lagen. Interaktionen mellan dessa två arter modelleras enligt följande. Offren dör ut med en hastighet som är lika med antalet möten med rovdjur och offer, som i denna modell antas vara proportionell mot antalet båda populationer, dvs lika med dxy (d> 0). Därför y '= by - dxy. Rovdjur reproducerar sig med en hastighet som är proportionell mot antalet rov som äts: x '= –ax + cxy (c> 0). System för ekvationer
x '= –ax + cxy, (1)
y '= av - dxy, (2)
som beskriver en sådan population, är rovdjuret offeret och kallas brickorna - Volterra-systemet (eller modellen).
I fysik:
Newtons andra lag kan skrivas i form av en differentiell ekvation
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), där m är kroppens massa, är x dess koordinat, F (x, t) är den kraft som verkar på kroppen med koordinaten x vid tiden t. Hans lösning är banan i kroppen under den angivna kraften.
